2.2.2. Метод скользящих средних

Метод скользящих средних базируется на предположении, считающимся тривиальным: при определении средних значений случайные отклонения погашаются. При сглаживании этим методом фактические значения ряда динамики заменяются средними значениями, которые характеризуют срединную точку периода скольжения (Юл, Кендалл, 1960).

Простое сглаживание основывается на составлении нового ряда из простых средних арифметических, исчисленных для промежутков времени длиной q:

,

где длина периода сглаживания q зависит от характера временного ряда, а также от цели сглаживания и выбирается исследователем; k - порядковый номер средней.

Пример простого сглаживания ряда СКОРОСТЬ при q=31 представлен на рис. 2.3.

После вычитания гладкого тренда из исходного ряда получен новый ряд остатков y(t), показанный на рис. 2.4 и имеющий следующие статистические характеристики: среднее - 0.00256, стандартная ошибка - 1.376 (т.е. процедура сглаживания компенсирует до 40 % вариабельности ряда).

Взвешенное сглаживание состоит в определении средних, взвешенных для разных точек ряда динамики. В основе метода лежит идея локального приближения тренда полиномом не очень высокой степени. Значения оценки тренда в точке t аппроксимируются по уровням ряда из временного интервала [t - q, t + q] полиномом заданного порядка p:

,

параметры которого оцениваются по методу наименьших квадратов с помощью уравнений типа:

Решая полученные уравнения относительно a_i, получим последовательность весов, зависящих только от ширины интервала (2q + 1) и порядка полинома p, а расчет значений оценок тренда в точке t эквивалентен построению взвешенной суммы значений ряда в интервале [t - q, t + q]. Значения весов для разных q и p уже определены и представлены в соответствующих таблицах (Юл, Кендалл, 1960). Для полинома порядка 1 веса a_i равны между собой, что сводит этот метод к простому сглаживанию.

Результат взвешенного сглаживания ряда ПОВТОР, при q=31 и p=4, представлен на рис. 2.5.

На практике часто используется сглаживающий фильтр Хэмминга - взвешенное скользящее среднее с весами 0.25, 0.5 и 0.25, соответствующее формуле:

= 0.25 x(t -1) + 0.5 x(t) + 0.25 x(t +1)

(концевые точки копируются : = x(0), = x(n)).

Метод скользящих средних имеет ряд преимуществ перед другими методами:

• скользящая средняя дает функцию тренда, в наибольшей мере приближенную к значениям исследуемого ряда, поскольку для отдельных частей ряда выбирается наилучшая тенденция;

• к исследуемому ряду могут быть прибавлены новые значения;

• нахождение тренда не связано с большими вычислительными трудностями.

Недостатком метода скользящей средней является то обстоятельство, что при увеличении периода скольжения теряется информация о крайних периодах ряда, что недопустимо при некоторых приемах анализа временных рядов (например, при спектральном анализе). Кроме того, этот метод (и другие, подобные ему) может вызывать автокорреляцию остатков (см. разд. 2.3.1), даже если она отсутствовала в исходном ряду - так называемый эффект Слуцкого - Юла (Юл, Кендалл, 1960; Вайну, 1977).