2.4.2. Этапы построения моделей

Дж.Бокс и Г.Дженкинс (1974) предлагают следующие этапы построения моделей динамики для целей прогнозирования или управления:

• постулирование общего класса моделей, когда из теоретических и практических соображений и поставленной цели моделирования выбирается полезное семейство гипотетической модели;

• структурная идентификация конкретных подклассов выбранных типов моделей с использованием статистических характеристик временных рядов (например, на основе анализа графиков автокорреляционной функции и спектра);

• оценка параметров идентифицированных моделей;

• диагностическая проверка адекватности конкретной модели (подробнее см. Заключение).

Если в результате диагностики модели были обнаружены дефекты подгонки, последние три этапа итеративно повторяются.

Идентификация - это процедура определения конкретного типа параметрической модели, поскольку общий класс стохастических моделей слишком обширен для непосредственной подгонки к данным. В моделях АР и СС идентификация заключается в выборе периода упреждения l. Задачей идентификации является и выбор наименьшего возможного числа параметров модели при условии ее достаточной адекватности (принцип экономичности модели - parsimony - см. Введение). Например, использование завышенного порядка разности, как будет показано ниже (см. разд. 2.4.5), приводит к заметному росту дисперсии прогноза. Очевидно, что процесс идентификации неизбежно неточен, поскольку основывается на "неточных" непараметрических критериях. На этом этапе особенно полезны суждения с использованием графических методов, хотя дать конкретные рекомендации по анализу коррелограмм и спектров чрезвычайно трудно. Дж.Бокс и Г.Дженкинс предлагают, например, взять за визуальный критерий стационарности быстрое убывание значений выборочной автокорреляционной функции, но само понятие "быстрое убывание" неформализуемо и целиком зависит от опыта и субъективных представлений исследователя.

Стохастические модели временных рядов основываются на некотором множестве коэффициентов (параметров), значения которых должны оцениваться по результатам наблюдений. Здесь используются разные по форме оценки целевой функции оптимизации (чаще всего условный или безусловный методы наименьших квадратов). Наиболее популярен для оптимизации целевой функции при построении моделей АР и СС алгоритм Маркварда, причем для нахождения начального приближения используются уравнения Юла-Уокера (Yule, 1927; Walker, 1953), связывающие коэффициенты модели с теоретическими значениями АКФ. В процессе нахождения оценок модели может возникать вырождение, которое почти неизбежно, когда порядки авторегресии и скользящего среднего в модели неоправданно велики. Если же в этом случае и не возникнут вычислительные проблемы, то скорее всего часть оцененных параметров не будет значимо отличаться от нуля.

Если процесс оценивания успешно осуществлен, возникает проблема оценки качества построенной модели. Для "хорошей" модели остатки должны быть "белым шумом", т.е. их выборочные коэффициенты автокорреляции не должны значимо отклоняться от нуля. Кроме того, модель не должна содержать лишних параметров, т.е. желательно уменьшать число параметров, пока не появится значимая автокорреляция остатков. Для диагностики модели необходимо попытаться модифицировать ее, меняя порядки АР и СС, однако опасно повышать оба порядка одновременно ввиду возрастания вероятности вырождения.