2.2.4. Метод экспоненциального сглаживания

Метод экспоненциального сглаживания применяется для прогнозирования нестационарных временных рядов, имеющих случайные изменения уровня и угла наклона, и известен под названием метода Брауна.

В качестве основной модели ряда рассматривается его локальная аппроксимация в виде полинома невысокой степени p:

x(t) = a₀(t) + a₁(t) t + a₂(t) t ² + ...+ a_p(p) t ^p + h ,

коэффициенты которого a_i медленно меняются со временем.

Если, например, ограничиться линейной моделью, то коэффициенты a₀(t) и a₁(t) оцениваются

a₀(t) = x(t) + ²[ x*(t -1) - x(t) ] ,

a₁(t) = a₁(t -1) + ² [ x*(t -1) - x(t) ] ,

где  - параметр сглаживания в диапазоне 0 <  < 1;  = 1 - ; x*(t -1) - предыдущее сглаженное значение. В качестве начальных значений оценок коэффициентов модели берутся

a₀(0) = 4x(1) + x(2) - 2x(3) ; a₁(0) = x(3) - x(1).

Таким образом, вычислительный процесс устроен как адаптивная процедура, в которой коэффициенты полинома пересчитываются по старым коэффициентам и новым данным с экспоненциально убывающими весами, причем наибольший вес приписывается последнему наблюдению. Процесс вычислений управляется двумя параметрами: порядком аппроксимирующего полинома p и параметром сглаживания . В ходе вычислений строится сглаженный ряд, представляющий собой в каждый момент времени t прогноз по данным до момента (t - 1) включительно.

Выбор параметра сглаживания  представляет собой достаточно сложную проблему.Чем ближе параметр сглаживания к единице, тем больше влияние последних наблюдений и тем больше скорость убывания весов. Однако, если высокочастотная компонента ряда имеет достаточно большую дисперсию, не следует использовать большие значения параметра сглаживания из-за плохого качества прогноза.

Результаты экспоненциального сглаживания ряда NH₄⁺, при p = 1 (линейная модель), представлены на рис. 2.7. Сглаживающая константа  = 0.224 была найдена путем минимизации ошибки прогноза на один шаг вперед, вычисленной по последней трети ряда.