2.3.4. Спектральный анализ

Спектральный анализ (Бартлетт, 1958; Хеннан, 1964; Венцель, 1969; Пугачев, 1968; Дженкинс, Ваттс, 1971) рядов динамики проводится с целью определения основных гармонических составляющих случайного процесса путем выделения синусоидальных компонент на различных частотах.

Значения спектра или спектральной плотности представляют собой разложение полной дисперсии временного ряда по различным частотным составляющим и оцениваются как косинус-преобразование Фурье выборочной автоковариационной функции по следующей формуле (Гренандер, 1961; Вентцель, 1969; Гренджер, Хатанака, 1972):

где _j - частоты, для которых определяются значения спектра, j = 0, 1, ..., m, _k - автоковариационная функция, определяемая по формуле

,

_k - веса значений автоковариационной функции, зависящие от числа частот m.

Число исследуемых частот равно числу временных сдвигов для автоковариационной функции и зависит от длины временного ряда. Обычно рекомендуют число временных сдвигов брать равным n/5 при числе уровней ряда динамики не менее 100.

Для определения _k можно использовать, например, оценки Парзена (Гренджер, Хатанака, 1972):

Спектральная плотность является непрерывной неотрицательной функцией и связана с теоретической автокорреляционной функцией (k) формулой

I() = D [1 + 2 ₁ cos( ) + 2 ₂ cos(2  ) + ... ],

где D - дисперсия ряда. Обратное соотношение записывается в виде интеграла. Таким образом, автокорреляционная функция и спектральная плотность математически эквивалентны, поскольку являются взаимными трансформантами. Разница - лишь в особенностях наглядного представления.

В качестве оценки спектра проще всего использовать сглаженную периодограмму (часто называемую просто спектрограммой). Сама периодограмма, или выборочный спектр, является несостоятельной оценкой спектральной плотности, однако ее значения для различных частот асимптотически независимы, благодаря чему появляется возможность построения состоятельных оценок.

Вид спектограммы тесно связан со структурой ряда и является хорошим средством для выявления скрытых периодичностей. Например, теоретический спектр "белого шума" - константа. Для нестационарных рядов с гладким трендом периодограмма содержит резкий подъем в области низких частот, связанный с попыткой найти детерминированную периодичность с очень большим периодом. Наличие сезонных эффектов проявляет себя в виде острых узких пиков в спектрограмме на соответствующей частоте (а при несимметричной форме сезонной волны - и на кратных частотах), хотя подобные пики могут появиться и случайным образом.

Рассмотрим примеры графиков спектральной плотности, полученные сглаживанием периодограммы с помощью окна Парзена:

• на рис. 2.18 представлена спектрограмма ряда FE , характеризующегося cущественным трендом и определенным сезонным фактором с периодичностью в один год (через 6 месяцев вегетационного периода);

• ряд ПОВТОР со спектром на рис. 2.19 не содержит гладкого тренда, но имеет выраженную годичную периодичность;

• анализ спектра ряда NROT на рис. 2.20 дает возможность высказать предположение об ощутимом многолетнем тренде и периодичности через два месяца для ротаторий;

• наконец, совершенно фантастична спектрограмма ряда РАСХОД на рис. 2.21.

2.3.5. Методы анализа периодичностей

В рядах динамики нередко содержатся заметные периодические колебания вокруг общей тенденции, являющиеся причиной того, что аппроксимация тренда функциями полиномиального типа не дает удовлетворительного результата. Известный русский математик Е.Е.Слуцкий (1927), положивший начало анализу периодичностей, писал: "Наличие синусоидальных волн различных порядков, начиная с длинных, обнимающих десятилетия, продолжая циклами примерно от пяти до десяти лет длиною и кончая совсем короткими волнами, остается как факт, требующий объяснения". При этом им была доказана важная теорема, утверждающая, что для рядов динамики можно подобрать синусоиду (или несколько синусоид), которая будет с заданной точностью описывать колебания связанного временного ряда. Период (L) такой синусоиды для связанного ряда в зависимости от коэффициента автокорреляции пар соседних значений r₁ определяется по формуле:

L = 2 / arc cos (r₁)

Очевидно, если коэффициент автокорреляции r₁ = - 1, то L = 2 и при отрицательной связи соседних значений временного ряда вслед за точкой максимума должна следовать точка минимума. Если r₁ = +1, то L = ; иными словами, при абсолютной положительной связи соседних значений следует ожидать линейного характера изменения временного ряда (полное отсутствие поворотных точек). Наконец, если r₁ = 0, то L = 4, т.е. для несвязанного ряда длина периода будет равна четырем наблюдениям. Можно привести ряд иллюстративных примеров использования формулы Слуцкого для анализа связанных рядов динамики растительных экосистем (Розенберг,1984).

Цель гармонического анализа (Серебренников, 1948; Серебренников, Первозванский, 1965; Гренджер, Хатанака, 1972; Чеберкус, 1985) также состоит в определении основных синусоид, описывающих общие закономерности развития исследуемого явления. Как известно, с помощью преобразования Фурье любой ряд динамики можно представить в виде суммы конечного числа гармоник. Задача, по существу, сводится к аппроксимации процесса x(t) некоторым процессом

где А_о - математическое ожидание процесса x(t); A_k, B_k, _k - неизвестные параметры, которые могут быть определены по методу наименьших квадратов (Вайну, 1977), с использованием формулы Парсеваля (Дженкинс, Ваттс, 1971) или по алгоритму МГУА (см. разд. 3.2.4)