2.2.5. Процедура сезонного экспоненциального сглаживания

Наиболее простой метод учета межгодовых периодичностей состоит в сезонном экспоненциальном сглаживании. В аддитивной форме этой модели ряд представляется в виде

x(t) = f(t) + s(t) + ,

где f(t) - тренд,  - cлучайная компонента, а s(t) - сезонная составляющая, которая предполагается периодической с периодом l:

s(t) = s(t +l).

Фактически функция S на любом периоде определяется множеством из l значений s(1), ..., s(l), которые называют индексами сезонности, причем для однозначности параметризации модели обычно предполагают, что

s(1) + ... + s(l) = 0.

Пусть, например, x(t) - ряд ежемесячных данных c естественным периодом сезонности l = 12 и момент времени t = 1 соответствует январю года N. Тогда коэффициент s(1) выражает среднестатистическое отличие январей от среднего по всем месяцам. В свою очередь, s(2) - аналогичная характеристика февралей и т.д.

Для рядов, содержащих явно выраженный тренд, часто более естественна мультипликативная форма модели. В этом случае в качестве условия нормировки используется условие

s(1)s(2)... s(l) = 1.

Модификацией метода экспоненциального сглаживания для сезонных рядов являются методы Уинтерса и Тейла-Вейджа (Тейл, 1971). В качестве модели ряда используется его представление в виде комбинации линейного тренда с сезонной составляющей, наложенной либо мультипликативно (модель Уинтерса), либо аддитивно (модель Тейла - Вейджа). Предполагается, что коэффициенты тренда и сезонная составляющая могут медленно меняться во времени. В соответствии с этим вычислительный процесс устроен как адаптивная процедура, управляемая тремя параметрами адаптации (один параметр - адаптация уровня, второй - угла наклона, третий - коэффициентов сезонности). Каждый параметр должен находится в интервале от 0 до 1: чем ближе параметр к единице, тем больший вес приписывается последним наблюдениям. В ходе вычислений строится сглаженный ряд, представляющий собой в каждый момент времени t прогноз по данным до момента (t -1) включительно.

Результаты сезонного экспоненциального сглаживания ряда NCAL (аддитивная модель) и ряда NROT (мультипликативная модель) при l = 6 представлены соответственно на рис. 2.8 и 2.9.

Графики вычисленных при сглаживании индексов сезонности s(1),...,s(6) изображены на рис. 2.10 и 2.11, где отчетливо виден одновершинный пик численности каляноидов, приходящийся на август, и двухвершинная активность популяции ротаторий в июне и сентябре.