2.4.6. Сезонная модель

С использованием полиномов () и () легко сформулировать и сезонный вариант результирующей мультипликативной модели АРИСС порядка (p, d, q)(P, D, Q)(s), записанный в виде

_P(B^s) _p(B) y_t = _Q(B^s) _q(B) a_t ,

где y_t = _s^D ^d x_t - ; s - период сезонности; a_t - "белый шум".

Здесь:

• _s - оператор взятия сезонной разности: _s (y_t) = y_t - y_{t -s};

•  - оператор взятия простой разности: _s (y_t) = y_t - y_{t -1};

• _p(B) - оператор простой авторегрессии: _p(B) = 1 - ₁B - ... - _p B^p;

• _P(Bs) - оператор сезонной авторегрессии: _P(B^s) = 1 - ₁B^s - ... - _PB^Ps;

• _q(B) - оператор скользящего среднего: _q(B) = 1 - ₁B - ... - _qB^q;

• _Q(Bs) - оператор сезонного скользящего среднего: _Q(Bs) = 1 - ₁B^s - ... - _QB^Qs .

На сезонную модель накладываются условия стационарности и обратимости, состоящие в том, что корни всех четырех полиномов должны лежать в пределах единичного круга.

Структура сезонной модели описывается, таким образом, шестью параметрами (p, d , q),(P, D, Q) и периодом сезонности s. Первой задачей идентификации модели является определение порядков простой и сезонной разностей. При явно выраженной сезонности рекомендуется сначала брать сезонную разность, а затем, при необходимости, - простую. Следует учесть, что параметры сезонного скользящего среднего крайне обременительны с вычислительной точки зрения, поскольку, при их наличии резко возрастает число подлежащих оценке прошлых значений остатков.

Рассмотрим сезонную модель АРИСС для ряда NCAL со следующими параметрами:

• порядок модели - p = 2, d = 0, q = 0 ;

• сезонные параметры - P = 2, D = 1, Q = 0 ;

• период сезонности - s = 6.

Полученная модель с константой  = 0 имела следующие коэффициенты:

Введение сезонного фактора существенно улучшило показатели модели по критериям стационарности ряда остатков по сравнению с моделью АР(2), представленной в табл. 2.4:

• скорректированный коэффициент детерминации = 0.3798

• среднее ряда остатков = -0.19257

• стандартная ошибка ряда остатков = 2.2617

• статистика Дарбина-Уотсона = 1.997

• тест Хи-квадрат на белый шум = 25.8

Перед оценкой сезонной модели следует постулировать характер сезонной составляющей. Если предполагается, что она носит мультипликативный характер, то следует моделировать прологарифмированный ряд, ибо модель АРИСС по своей сути аддитивна.