2.4.5. Модель Бокса-Дженкинса (арисс)

Модель АРИСС - одну из наиболее популярных моделей для построения краткосрочных прогнозов - часто называют по имени авторов, предложивших методику ее применения для временных рядов, некоторая d-я разность которых стационарна. Модель зависит от трех структурных целочисленных параметров p, d, q [обозначение - АРИСС(p, d, q)] и формально записывается в виде

_t = ₁ _{t -1} + ₂ _{t -2} + ... + _p _{t -p} - ₁ a_t-1 - ₂ a_{t -2} - ... - _p a_{t -q} ,

где a_t - "белый шум"; _t = (^d x_t) -  ; ^d - оператор взятия разности порядка d,  - константа, определяющая средний уровень ряда. Параметры  являются параметрами авторегрессии, а параметры  - параметрами скользящего среднего.

В общем случае рассматриваются только модели, удовлетворяющие условиям стационарности и обратимости: корни обоих полиномов для _i и _i должны лежать внутри единичного круга |y| < 1. Тогда ошибка a_t представляет собой ошибку наилучшего прогноза на шаг вперед. Без условий стационарности и обратимости статистически корректный анализ модели невозможен.

Важными специальными классами моделей АРИСС являются: модель авторегрессии - скользящего среднего АРСС(p, q) = АРИСС(p, 0, q)

y_t = ₁ y_{t -1} + ₂ y_{t -2} + ... + _p y_{t -p} - ₁ a_t-1 - ₂ a_{t -2} - ... - _p a_{t -q} ,

где y_t = x_t -  ; d = 0, а также модель ИСС(d, q) = АРИСС(0, d, q), в которой p = 0. Очевидно, что и модель авторегресии АР(p) можно представить как частный случай АРИСС(p, 0, 0), для которой d = q = 0. Другой частный случай - модель скользящего среднего СС(q), для которой p = d = 0.

Первый шаг идентификации моделей АРИСС - определение порядка разности d, который должен быть выбран так, чтобы ряд _t = (^d x_t) был стационарным. Для определения d текущие разности ряда последовательно тестируются на стационарность. На практике часто оказывается, что адекватное описание наблюдаемых временных рядов достигается при помощи моделей, в которых p и q не больше, а часто и меньше 2.

Некоторые результаты прогонки моделей АРИСС для ряда СКОРОСТЬ представлены в табл. 2.5.

Таблица 2.5

Критерии качества полученных моделей АРИСС

Очевидно, что учет первого порядка разности - модель АРИСС(1,1,0) - несколько улучшает свойства модели, однако дальнейшее увеличение параметра d приводит к вырождению моделируемого процесса (что является проявлением принципа экономичности моделей). Следует отметить, что модели АРИСС и ИСС не предъявляют жестких требований к стационарности исходного ряда вследствие применения нелинейного фильтра.

После оценки на стационарность остатков полезно оценить ошибки в определении коэффициентов _i и _i. Например, самая эффективная модель в табл. 2.5 - модель АРИСС(1, 0, 1), дающая ряд остатков, близкий к "белому шуму", - имеет следующие коэффициенты:

Очевидный дефект модели - недостоверность коэффициента авторегрессии, что дополнительно свидетельствует о близости ряда к теоретическому процессу скользящего среднего.

Наилучшая модель АРИСС(3, 0, 0) ряда NH4+ (упоминаемая в дальнейшем изложении как модель R1), полученная перебором всех p, d и q до 3-го порядка, имеет вид

x_t = 17.264 + 0.421 x_{t -1} + 0.15 x_{t -2} + 0.237 x_{t -3} ;

среднеквадратичная ошибка ряда остатков 59.68; график модели представлен на рис. 2.24.